Estadística básica: pruebas de hipótesis, correlación y remuestreo

Minicurso de R · Módulo 4

R
estadística
pruebas de hipótesis
bootstrap
correlación
Distribuciones, intervalos de confianza, pruebas t, chi-cuadrado, correlación, pruebas de permutación y bootstrap, con la lógica detrás de cada método.
Author

Mauricio Romero

Published

September 25, 2026

Duración estimada: 3 horas · Nivel: intermedio · Prerrequisitos: Módulos 0 a 3 y nociones de probabilidad.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar este cuaderno podrás:

  1. Describir una muestra y trabajar con distribuciones de probabilidad en R.
  2. Explicar la lógica de una prueba de hipótesis (valor p, error tipo I y II, potencia).
  3. Comparar medias con la prueba t (una muestra, dos muestras, pareada) y verificar sus supuestos.
  4. Analizar tablas de contingencia con chi-cuadrado y medir asociaciones con correlación.
  5. Estimar incertidumbre sin fórmulas con bootstrap y pruebas de permutación.
  6. Reportar resultados con tamaños de efecto e intervalos de confianza, no solo con valores p.
library(tidyverse)
library(palmerpenguins)
library(broom)       # resultados de pruebas como tablas
library(corrplot)
library(boot)
set.seed(2026)

theme_set(theme_minimal(base_size = 12) + theme(panel.grid.minor = element_blank()))

1. Distribuciones de probabilidad

R tiene cuatro funciones para cada distribución, identificadas por un prefijo:

Prefijo Qué calcula Ejemplo con la normal
d densidad (o probabilidad puntual) dnorm(x, media, sd)
p probabilidad acumulada \(P(X \le x)\) pnorm(1.96)
q cuantil (inversa de p) qnorm(0.975)
r números aleatorios rnorm(100) 
pnorm(1.96)                    # P(Z <= 1.96)
[1] 0.9750021
qnorm(c(0.025, 0.975))         # límites del 95 % central
[1] -1.959964  1.959964
1 - pnorm(120, mean = 100, sd = 15)   # P(X > 120) si X ~ N(100, 15)
[1] 0.09121122
dbinom(3, size = 10, prob = 0.5)      # P(exactamente 3 éxitos en 10 ensayos)
[1] 0.1171875
ppois(2, lambda = 4)                  # P(X <= 2) si X ~ Poisson(4)
[1] 0.2381033
library(patchwork)
x <- seq(-4, 4, length.out = 300)

p1 <- ggplot(tibble(x), aes(x)) +
  stat_function(fun = dnorm, colour = "#264653") +
  labs(title = "Normal(0, 1)", y = "densidad")
p2 <- ggplot(tibble(x), aes(x)) +
  stat_function(fun = dnorm, colour = "grey70", linetype = 2) +
  stat_function(fun = dt, args = list(df = 3), colour = "#e76f51") +
  labs(title = "t de Student (gl = 3) vs. normal", y = NULL)
p3 <- ggplot(tibble(k = 0:10, p = dbinom(0:10, 10, 0.4)), aes(k, p)) +
  geom_col(fill = "#2a9d8f") + scale_x_continuous(breaks = 0:10) +
  labs(title = "Binomial(10, 0.4)", y = "probabilidad")
p4 <- ggplot(tibble(x = seq(0, 5, length.out = 200)), aes(x)) +
  stat_function(fun = dexp, args = list(rate = 1), colour = "#e9c46a") +
  labs(title = "Exponencial(1)", y = NULL)

(p1 | p2) / (p3 | p4)
Figure 1: Cuatro distribuciones frecuentes: normal, t de Student con pocos grados de libertad (colas más pesadas), binomial (discreta) y exponencial.

El teorema central del límite

Aunque los datos no sean normales, la media muestral tiende a distribuirse normalmente cuando el tamaño de la muestra crece. Es la razón por la que tantos métodos funcionan en la práctica. Lo comprobamos con datos muy asimétricos (exponenciales):

medias <- map_dfr(c(2, 10, 30, 100), \(tam) {
  tibble(n = paste("n =", tam), media = replicate(3000, mean(rexp(tam, rate = 1))))
}) |> mutate(n = fct_inorder(n))

ggplot(medias, aes(media)) +
  geom_histogram(bins = 40, fill = "#2a9d8f", colour = "white") +
  facet_wrap(~ n, nrow = 1, scales = "free_y") +
  labs(x = "Media muestral", y = NULL)
Figure 2: Distribución de la media muestral de datos exponenciales (muy asimétricos) para distintos tamaños de muestra. Con n = 30 la distribución ya es casi simétrica.

2. Teoría: cómo funciona una prueba de hipótesis

Una prueba de hipótesis sigue siempre los mismos pasos:

  1. Hipótesis nula \(H_0\) (no hay efecto, ni diferencia) y alternativa \(H_1\).
  2. Un estadístico de prueba que resume la evidencia (por ejemplo, la diferencia de medias dividida por su error estándar).
  3. La distribución del estadístico si \(H_0\) fuera cierta.
  4. El valor p: la probabilidad de obtener un resultado al menos tan extremo como el observado si \(H_0\) fuera cierta.
  5. La decisión: si \(p < \alpha\) (típicamente 0,05) se rechaza \(H_0\).
\(H_0\) es cierta \(H_0\) es falsa
No se rechaza \(H_0\) correcto Error tipo II (probabilidad \(\beta\))
Se rechaza \(H_0\) Error tipo I (probabilidad \(\alpha\)) correcto (potencia \(= 1 - \beta\))
WarningLo que el valor p NO es

El valor p no es la probabilidad de que \(H_0\) sea cierta, ni la probabilidad de que el resultado se deba al azar, ni una medida del tamaño o la importancia del efecto. Un efecto diminuto puede tener \(p\) muy pequeño con una muestra enorme, y un efecto importante puede tener \(p\) grande con una muestra pequeña (Wasserstein y Lazar, 2016). Reporta siempre el tamaño del efecto y su intervalo de confianza.

Lo vemos con una simulación: si \(H_0\) es cierta, los valores p se distribuyen de manera uniforme y por eso el 5 % de las veces rechazamos por puro azar:

pvals <- \(delta) replicate(5000, t.test(rnorm(30), rnorm(30, mean = delta))$p.value)

sim_p <- bind_rows(tibble(caso = "H0 cierta (delta = 0)", p = pvals(0)),
                   tibble(caso = "Efecto real (delta = 0.5)", p = pvals(0.5)))

ggplot(sim_p, aes(p)) +
  geom_histogram(breaks = seq(0, 1, 0.05), fill = "#264653", colour = "white") +
  geom_vline(xintercept = 0.05, colour = "#e76f51", linetype = 2) +
  facet_wrap(~ caso) +
  labs(x = "Valor p", y = "Frecuencia")

sim_p |> group_by(caso) |> summarise(rechaza_H0 = mean(p < 0.05))
# A tibble: 2 × 2
  caso                      rechaza_H0
  <chr>                          <dbl>
1 Efecto real (delta = 0.5)     0.472 
2 H0 cierta (delta = 0)         0.0474
Figure 3: Valores p de 5000 pruebas t entre dos grupos con la misma media (H0 cierta, izquierda) y con una diferencia real de 0,5 desviaciones estándar (derecha, n = 30 por grupo). Bajo H0 son uniformes; con un efecto real se acumulan cerca de cero.

La segunda cifra es la potencia de la prueba: con 30 observaciones por grupo y un efecto de 0,5 desviaciones estándar solo detectamos el efecto la mitad de las veces. Antes de un estudio conviene calcular el tamaño de muestra necesario:

power.t.test(delta = 0.5, sd = 1, power = 0.80, sig.level = 0.05)   # n por grupo

     Two-sample t test power calculation 

              n = 63.76576
          delta = 0.5
             sd = 1
      sig.level = 0.05
          power = 0.8
    alternative = two.sided

NOTE: n is number in *each* group

3. La prueba t

Compara medias cuando la variable es numérica. Sus supuestos son observaciones independientes y datos aproximadamente normales (o muestras no muy pequeñas, por el teorema central del límite).

Una muestra

¿La masa media de los pingüinos Adelie difiere de 3700 g?

adelie <- penguins |> filter(species == "Adelie") |> drop_na(body_mass_g)
t.test(adelie$body_mass_g, mu = 3700)

    One Sample t-test

data:  adelie$body_mass_g
t = 0.017746, df = 150, p-value = 0.9859
alternative hypothesis: true mean is not equal to 3700
95 percent confidence interval:
 3626.926 3774.398
sample estimates:
mean of x 
 3700.662

Dos muestras independientes

¿Pesan lo mismo los machos y las hembras Adelie? t.test() usa por defecto la versión de Welch, que no supone varianzas iguales y es la recomendable.

prueba <- t.test(body_mass_g ~ sex, data = adelie)
prueba

    Welch Two Sample t-test

data:  body_mass_g by sex
t = -13.126, df = 135.69, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means between group female and group male is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -776.3012 -573.0139
sample estimates:
mean in group female   mean in group male 
            3368.836             4043.493 
tidy(prueba)      # el mismo resultado como tabla
# A tibble: 1 × 10
  estimate estimate1 estimate2 statistic  p.value parameter conf.low conf.high
     <dbl>     <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>     <dbl>    <dbl>     <dbl>
1    -675.     3369.     4043.     -13.1 6.40e-26      136.    -776.     -573.
# ℹ 2 more variables: method <chr>, alternative <chr>
adelie |> drop_na(sex) |>
  ggplot(aes(sex, body_mass_g, fill = sex)) +
  geom_violin(alpha = 0.5, colour = NA) +
  geom_boxplot(width = 0.15, fill = "white", outlier.shape = NA) +
  scale_fill_manual(values = c(female = "#e76f51", male = "#264653"), guide = "none") +
  scale_x_discrete(labels = c("Hembra", "Macho")) +
  labs(x = NULL, y = "Masa corporal (g)")
Figure 4: Masa corporal de machos y hembras Adelie. La diferencia de medias es grande frente a la variabilidad dentro de cada grupo.

Muestras pareadas

Cuando se mide lo mismo en los mismos individuos antes y después (o en dos condiciones), la prueba pareada analiza las diferencias y es mucho más potente. Ejemplo: tiempo de diez personas antes y después de un entrenamiento.

antes   <- c(12.9, 13.5, 12.8, 15.6, 17.2, 19.2, 12.6, 15.3, 14.4, 11.3)
despues <- c(12.7, 13.6, 12.0, 15.2, 16.8, 20.0, 12.0, 15.9, 16.0, 11.1)

t.test(antes, despues, paired = TRUE)

    Paired t-test

data:  antes and despues
t = -0.21331, df = 9, p-value = 0.8358
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.5802549  0.4802549
sample estimates:
mean difference 
          -0.05

Como el intervalo de confianza incluye el cero y \(p > 0.05\), no hay evidencia de un cambio con esta muestra. Un gráfico de líneas que une cada par muestra lo mismo:

tibble(id = 1:10, Antes = antes, Después = despues) |>
  pivot_longer(-id, names_to = "momento", values_to = "valor") |>
  mutate(momento = fct_inorder(momento)) |>
  ggplot(aes(momento, valor, group = id)) +
  geom_line(colour = "grey60") + geom_point(size = 2, colour = "#264653") +
  labs(x = NULL, y = "Tiempo")
Figure 5: Cada línea une los valores de una misma persona. La pendiente de las líneas es heterogénea: algunas suben, otras bajan.

Verificar los supuestos

La normalidad se revisa gráficamente con un gráfico cuantil-cuantil (Q-Q): si los puntos siguen la recta, los datos son aproximadamente normales. La prueba de Shapiro-Wilk complementa, pero con muestras grandes rechaza por desviaciones insignificantes.

qq <- \(x, titulo) ggplot(tibble(x), aes(sample = x)) +
  stat_qq(alpha = 0.6) + stat_qq_line(colour = "#e76f51") + labs(title = titulo, x = "Cuantiles teóricos", y = "Cuantiles muestrales")

qq(adelie$body_mass_g, "Masa Adelie") | qq(rexp(150), "Exponencial simulada")

shapiro.test(adelie$body_mass_g)$p.value
[1] 0.03239702
shapiro.test(rexp(150))$p.value
[1] 3.590951e-13
Figure 6: Gráficos Q-Q de la masa de pingüinos Adelie (aprox. normal) y de datos exponenciales simulados (claramente asimétricos).

Si los supuestos no se cumplen (datos muy asimétricos y muestra pequeña), se usa la alternativa no paramétrica, que compara rangos en lugar de valores: wilcox.test() (Mann-Whitney o Wilcoxon según sea independiente o pareada).

wilcox.test(body_mass_g ~ sex, data = adelie)

    Wilcoxon rank sum test with continuity correction

data:  body_mass_g by sex
W = 310.5, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Tamaño del efecto

La d de Cohen expresa la diferencia en unidades de desviación estándar: \(d = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)/s_p\). Los valores de referencia son 0,2 (pequeño), 0,5 (mediano) y 0,8 (grande).

cohen_d <- function(x, g) {
  x1 <- x[g == levels(g)[1]]; x2 <- x[g == levels(g)[2]]
  sp <- sqrt(((length(x1) - 1) * var(x1) + (length(x2) - 1) * var(x2)) / (length(x1) + length(x2) - 2))
  (mean(x2) - mean(x1)) / sp
}
ad2 <- drop_na(adelie, sex)
cohen_d(ad2$body_mass_g, ad2$sex)
[1] 2.172678

4. Comparaciones múltiples

Si haces 20 pruebas con \(\alpha = 0.05\), esperas una falsa detección solo por azar. Cuando se comparan varios grupos o variables se ajustan los valores p:

# Comparar la masa entre las tres especies, dos a dos
pairwise.t.test(penguins$body_mass_g, penguins$species, p.adjust.method = "holm")

    Pairwise comparisons using t tests with pooled SD 

data:  penguins$body_mass_g and penguins$species 

          Adelie Chinstrap
Chinstrap 0.63   -        
Gentoo    <2e-16 <2e-16   

P value adjustment method: holm

El método de Holm es más potente que el de Bonferroni y no requiere supuestos adicionales; "BH" controla la tasa de falsos descubrimientos y es habitual cuando hay muchísimas pruebas.

5. Tablas de contingencia y chi-cuadrado

Para dos variables categóricas la prueba de chi-cuadrado de independencia compara las frecuencias observadas \(O\) con las esperadas \(E\) si las variables fueran independientes:

\[ \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} \]

tabla <- table(penguins$species, penguins$island)
tabla
           
            Biscoe Dream Torgersen
  Adelie        44    56        52
  Chinstrap      0    68         0
  Gentoo       124     0         0
prueba_chi <- chisq.test(tabla)
prueba_chi

    Pearson's Chi-squared test

data:  tabla
X-squared = 299.55, df = 4, p-value < 2.2e-16
round(prueba_chi$expected, 1)   # frecuencias esperadas si fueran independientes
           
            Biscoe Dream Torgersen
  Adelie      74.2  54.8      23.0
  Chinstrap   33.2  24.5      10.3
  Gentoo      60.6  44.7      18.7

Los residuos estandarizados muestran qué celdas explican la asociación (valores mayores que |2| son notables):

as.data.frame(as.table(prueba_chi$stdres)) |>
  rename(especie = Var1, isla = Var2, residuo = Freq) |>
  ggplot(aes(isla, especie, fill = residuo)) +
  geom_tile(colour = "white") +
  geom_text(aes(label = round(residuo, 1))) +
  scale_fill_distiller(palette = "RdBu", limits = c(-15, 15), direction = 1) +
  labs(x = NULL, y = NULL, fill = "Residuo")
Figure 7: Residuos estandarizados de la tabla especie por isla. Los Adelie viven en las tres islas y los Chinstrap y Gentoo se concentran en una sola, lo que produce la asociación.
TipConsejo

Chi-cuadrado exige que las frecuencias esperadas sean al menos 5 en casi todas las celdas. Con muestras pequeñas usa fisher.test().

6. Correlación

La correlación mide qué tan asociadas están dos variables numéricas. Va de \(-1\) a \(1\):

  • Pearson mide la relación lineal y es sensible a valores atípicos.
  • Spearman trabaja con rangos, detecta relaciones monótonas (aunque no sean lineales) y es más robusta.
pd <- drop_na(penguins, bill_length_mm, flipper_length_mm)

cor.test(pd$bill_length_mm, pd$flipper_length_mm)                        # Pearson

    Pearson's product-moment correlation

data:  pd$bill_length_mm and pd$flipper_length_mm
t = 16.034, df = 340, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.5912769 0.7126403
sample estimates:
      cor 
0.6561813 
cor.test(pd$bill_length_mm, pd$flipper_length_mm, method = "spearman")   # Spearman

    Spearman's rank correlation rho

data:  pd$bill_length_mm and pd$flipper_length_mm
S = 2181594, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
      rho 
0.6727719 
mat <- penguins |>
  select(`Largo pico` = bill_length_mm, `Prof. pico` = bill_depth_mm,
         `Largo aleta` = flipper_length_mm, Masa = body_mass_g) |>
  drop_na() |> cor()

corrplot(mat, method = "color", type = "upper", addCoef.col = "black",
         tl.col = "black", tl.srt = 45, col = colorRampPalette(c("#2e6fa7", "white", "#d1495b"))(200))
Figure 8: Correlaciones entre las cuatro medidas corporales de los pingüinos. Las estimaciones más fuertes involucran a la masa y el largo de la aleta.
WarningCorrelación no implica causalidad

Una correlación alta puede deberse a una tercera variable (confusión) o a la mezcla de subgrupos. Ver el diagrama de dispersión y las facetas del Módulo 3 antes de interpretar es imprescindible; por ejemplo, la correlación entre largo y profundidad del pico es negativa en todos los pingüinos, pero positiva dentro de cada especie.

7. Remuestreo: pruebas de permutación y bootstrap

Los métodos de remuestreo reemplazan las fórmulas por simulación usando los mismos datos. Son útiles cuando no hay una fórmula sencilla (una mediana, una razón, un índice) o cuando los supuestos de la prueba paramétrica no se cumplen.

Prueba de permutación

La idea: si \(H_0\) es cierta y los grupos no difieren, las etiquetas de grupo son intercambiables. Se barajan las etiquetas muchas veces, se recalcula el estadístico cada vez y se ve dónde cae el valor observado en esa distribución:

obs <- diff(tapply(ad2$body_mass_g, ad2$sex, mean))     # macho - hembra

perm <- replicate(10000, {
  etiquetas <- sample(ad2$sex)
  diff(tapply(ad2$body_mass_g, etiquetas, mean))
})

mean(abs(perm) >= abs(obs))     # valor p bilateral
[1] 0
ggplot(tibble(perm), aes(perm)) +
  geom_histogram(bins = 50, fill = "grey70", colour = "white") +
  geom_vline(xintercept = obs, colour = "#e76f51", linewidth = 1) +
  labs(x = "Diferencia de medias (g)", y = "Frecuencia")
Figure 9: Distribución de la diferencia de medias cuando se barajan al azar las etiquetas de sexo (10 000 permutaciones). La línea roja marca la diferencia observada, que queda muy lejos de lo esperable bajo H0.

Bootstrap

El bootstrap estima la incertidumbre de cualquier estadístico remuestreando con reemplazo los datos observados. Se generan miles de “muestras” del mismo tamaño y se calcula el estadístico en cada una; la variabilidad entre ellas aproxima la variabilidad del muestreo real.

# Intervalo de confianza para la MEDIANA de la masa Adelie
mediana_boot <- function(datos, i) median(datos[i])

b <- boot(adelie$body_mass_g, mediana_boot, R = 5000)
b

ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP


Call:
boot(data = adelie$body_mass_g, statistic = mediana_boot, R = 5000)


Bootstrap Statistics :
    original  bias    std. error
t1*     3700  -27.79    60.53263
boot.ci(b, type = c("perc", "bca"))
BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Based on 5000 bootstrap replicates

CALL : 
boot.ci(boot.out = b, type = c("perc", "bca"))

Intervals : 
Level     Percentile            BCa          
95%   (3550, 3775 )   (3550, 3750 )  
Calculations and Intervals on Original Scale
ic <- quantile(b$t, c(0.025, 0.975))

ggplot(tibble(m = as.numeric(b$t)), aes(m)) +
  geom_histogram(bins = 30, fill = "#2a9d8f", colour = "white") +
  geom_vline(xintercept = ic, linetype = 2) +
  geom_vline(xintercept = median(adelie$body_mass_g), colour = "#e76f51") +
  labs(x = "Mediana de la masa (g)", y = "Frecuencia")
Figure 10: Distribución bootstrap de la mediana de masa de los Adelie. Las líneas punteadas delimitan el intervalo percentil del 95 %.

El intervalo BCa corrige el sesgo y la asimetría del bootstrap y suele ser la mejor opción para reportar.

Ejercicios

  1. Distribuciones. Si la talla de una población es \(N(170, 8)\) cm, ¿qué porcentaje mide más de 185 cm? ¿Cuál es la talla que deja por debajo al 90 %?
  2. Prueba t. Compara la longitud de la aleta (flipper_length_mm) entre pingüinos Adelie y Gentoo. Reporta la diferencia de medias, su IC 95 % y la d de Cohen. ¿Qué concluyes?
  3. Chi-cuadrado. ¿Hay asociación entre la especie y el sexo? Interpreta.
  4. Correlación. Calcula la correlación de Spearman entre masa y aleta dentro de cada especie (usa group_by() y summarise()).
  5. Bootstrap. Estima con boot un IC del 95 % para la desviación estándar de la masa de los Gentoo.
# 1
1 - pnorm(185, 170, 8)
[1] 0.03039636
qnorm(0.90, 170, 8)
[1] 180.2524
# 2
dos <- penguins |> filter(species %in% c("Adelie", "Gentoo")) |> drop_na(flipper_length_mm) |>
  mutate(species = droplevels(species))
tidy(t.test(flipper_length_mm ~ species, data = dos)) |>
  select(estimate, conf.low, conf.high, p.value)
# A tibble: 1 × 4
  estimate conf.low conf.high  p.value
     <dbl>    <dbl>     <dbl>    <dbl>
1    -27.2    -28.8     -25.7 3.19e-99
cohen_d(dos$flipper_length_mm, dos$species)
[1] 4.18005
# 3
chisq.test(table(penguins$species, penguins$sex))

    Pearson's Chi-squared test

data:  table(penguins$species, penguins$sex)
X-squared = 0.048607, df = 2, p-value = 0.976
# 4
penguins |> drop_na(body_mass_g, flipper_length_mm) |>
  group_by(species) |>
  summarise(rho = cor(body_mass_g, flipper_length_mm, method = "spearman"))
# A tibble: 3 × 2
  species     rho
  <fct>     <dbl>
1 Adelie    0.475
2 Chinstrap 0.670
3 Gentoo    0.717
# 5
gentoo <- penguins |> filter(species == "Gentoo") |> drop_na(body_mass_g) |> pull(body_mass_g)
boot.ci(boot(gentoo, \(d, i) sd(d[i]), R = 5000), type = "perc")
BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Based on 5000 bootstrap replicates

CALL : 
boot.ci(boot.out = boot(gentoo, function(d, i) sd(d[i]), R = 5000), 
    type = "perc")

Intervals : 
Level     Percentile     
95%   (450.1, 551.9 )  
Calculations and Intervals on Original Scale

Para profundizar

  • Wasserstein, R. L. y Lazar, N. A. (2016). The ASA statement on p-values: context, process, and purpose. The American Statistician, 70(2), 129–133.
  • Efron, B. y Tibshirani, R. J. (1993). An Introduction to the Bootstrap. Chapman & Hall.
  • Cumming, G. (2014). The new statistics: why and how. Psychological Science, 25(1), 7–29.
  • Navarro, D. (2015). Learning Statistics with R. learningstatisticswithr.com.
  • Vu, J. y Harrington, D. (2020). Introductory Statistics for the Life and Biomedical Sciences. openintro.org.
NoteReproducibilidad

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